【2024河南中考15】【隐圆】【与圆有关的最值问题】【标准图】

试题内容

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解法分析

标准图

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隐圆①：点D的运动轨迹点D在以点C为圆心，1为半径的圆上运动.

隐圆②：点E的运动轨迹(模糊)点E在以AB为直径的圆(部分)上运动.(圆心记为O)

隐圆③：点E的运动轨迹(准确)以AC为直径画圆，交圆C于点D、D，(或过点A作圆C的切线，切点为D、D)射线AD交圆O于点E，射线AD交圆O于点E，则点E在以点O为圆心的弧EE上运动，∴AE=AE，AE=AE.

计算部分

★方法1：隐圆如左图：连接CE.易证：点C在圆O上，∴∠AEC=∠ABC=45°，进而证明：△CDE是等腰直角三角形，∴ED=CD=1.在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=2，∴AE=AD+ED=2+1.

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如右图：连接CE.易证：点C在圆O上，∴∠BEC=∠BAC=45°，进而证明：△CDE是等腰直角三角形，∴ED=CD=1.在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=2，∴AE=AD-ED=2-1.

综上所述：AE的最大值为2+1，最小值为2-1.

★方法2：锐角三角函数/相似三角形易证：∠1=∠2.sin∠1=，cos∠1=，tan∠1=.

如左图：AM==，CM=AC·tan∠1=，∴EM=BM·sin∠2=(BC-CM)·sin∠2=1-，∴AE=AM+EM=2+1.

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如右图：CM=BC·tan∠2=，∴AE=AM·cos∠1=(AC-CM)·cos∠1=2-1.

综上所述：AE的最大值为2+1，最小值为2-1.

★方法3：轴对称根据AAS证明：△ABE(左图)≅△BAE(右图)，如右图：BE=2+1，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==2-1.*

动态演示

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再思考

转化(手拉手)

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以CD为斜边上的高，构造等腰直角△CMN.将△CMN绕点C旋转，射线AM与射线BN交于点E.问题转化为：当A、D、E三点共线时，求AE的长.

计算部分

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如左图：AE=AD+DN=2+1.

如右图：AE=AD-DN=2-1.

动态演示

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